Lois Fondamentales

Les lois fondamentales : Programme de BTS

TUTO : Les Lois Fondamentales

Ce tuto est très rapide, il s'agit simplement d'un rappel (pourtant important) des lois fondamentales du module de probabilité.

Loi de Bernoulli

Définition du cours : Une expérience de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues possibles :
  • L'une appelée "succès" qui a pour probabilité "p"
  • L'autre appelée "échec" qui a pour probabilité "q = 1 - p"

On pourrait presque rattacher ça au binaire, le succès est le "1". Et l'échec est le "0". Il n'y a rien de compliqué, la définition suffit d'elle même.

Loi Binomiale

Définition du cours : On répète "n" fois l'expérience de Bernoulli de paramètre "p" de façon IDENTIQUE ET INDÉPENDANTE.

Pour faire simple, la loi binomiale est la même que la loi de Bernoulli, sauf que la loi Binomiale est répétée plusieurs fois.

Par exemple : il y a 5 cartes (faces cachées) posées sur une table. Vous en retournez une, si c'est la bonne vous gagnez (le succès, le paramètre p) si c'est une mauvaise, vous perdez (l'échec). Vous remettez la carte (face cachée) sur la table, vous remélangez et vous ne savez donc plus ou elle est ! Vous retournez donc au point de départ. Et vous recommencez l'expérience n fois, de façon "identique et indépendante"... c'est à dire que vous avez autant de chance de tirer la bonne carte ou la mauvaise carte à la première, comme à la énième tentative.

Voilà la particularité de la Loi Binomiale.

Cela peut servir à tester des pièces d'une usine, par exemple. De façon à vérifier si les paramètres de construction de la pièce sont corrects.

p(x=k) : possibilité d'avoir le succès

nCk * p^k * q^(n-k)

Exercice(s) : Loi Binomiale

exercice proba maths

1 : il s'agit d'une suite binomiale puisque l'on selectionne 75 véhicules et chaque test est réalisé de façon identique et idépendante.

On a deux issues possibles :
  • Voiture conforme : echec q => 0.96
  • Voiture non conforme : succès p => 0.04

Paramètre n = 75 et p = 0,04

P(x=k) = 75C0 * 0.04 * 0.96^(75-0)

Que l'on traduit par : P(x=k) = 1 * 1 * 0.96^(75-0) : le premier 1 puisque : 0C75 = 1 et le second 1 puisque 0.04 ^ 0 = 1

Dans le cas ou on nous demande "au plus de deux flotteurs", c'est à dire "maximum deux flotteurs" On doit calculer non seulement la probabilité de "0 flotteur acceptable" mais aussi "1 flotteur acceptable" et pour finir, "2 flotteurs acceptables". Mais la dernière, on l'a déjà faite !

6C0 * 0.26^0 * 0.74^(6-0) = 0.16
6C1 * 0.26^1 * 0.74^(6-1) = 0.35
6C2 * 0.26^2 * 0.74^(6-2) = 0.30


0.16+0.34+0.30 = 0.81 => la probabilité d'avoir au plus de deux flotteurs est 0.81